Dönel Cisim Hacimlerinin İntegral Yardımıyla Hesaplanmasına Farklı Bir Bakış


Güveli H., Güveli E.

türkbilmat, Antalya, Turkey, 28 - 31 October 2021, pp.329

  • Publication Type: Conference Paper / Summary Text
  • City: Antalya
  • Country: Turkey
  • Page Numbers: pp.329
  • Recep Tayyip Erdoğan University Affiliated: Yes

Abstract

Dönel cisimlerin hacimlerini integral yardımıyla hesaplarken her bir durum için farklı formüllerin kullanılması sebebiyle, konunun anlaşılması ve formüllerin uygulanmasında güçlükler yaşanabilmektedir. Öğrenciler verilen formüllerin uygulamasında ezberci bir yaklaşıma yönelebilmekte ve işlemlerle ilgili kavramsal yapıyı anlamakta güçlük çekebilmektedirler. x değişkenine bağlı verilen bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi, aynı bölgenin y ekseni etrafında dönmesi, y değişkenine göre verilen bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesi ve aynı bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesi durumları için toplam 4 formül kullanılmaktadır. Öğrenciler hangi durumda hangi formülü uygulayacaklarını ezberledikleri takdirde işlem yapabilmektedirler. Formüllerdeki kavram bilgisinin ve neden formülün bu şekilde kullanıldığının öğrenciler tarafından kavranması becerisi çok zayıf hatta yok seviyesinde kalabilmektedir. Kavramsal bilginin eksikliği daha sonraki aşamalarda (örneğin; bir doğru ya da eğri etrafında döndürülerek elde edilen hacimlerde) tamamen içinden çıkılmaz bir hal alabilmektedir. Buradan hareketle formül çeşitliliğinin yarattığı karmaşıklığın önüne geçebilmek için yukarıda verilen dört durumu da kapsayan alternatif çözüm önerilerinin geliştirilmesine ihtiyaç duyulmaktadır. Ayrıca, analiz derslerinin haftalık ders saatlerinin de azaltılmış olduğu göz önüne alındığında, hem zamandan tasarruf sağlayan daha kısa hem de tüm durumlara cevap veren tek bir formülün kullanımının daha anlaşılır ve ekonomik olacağı düşünülmektedir. Bu gerekçeyle, bu çalışmanın amacı ezbere dayalı bir dize formülle hesaplanan dönel cisim hacmi hesabını daha önceden bilinen bir teorem (İskenderiyeli Pappus teoremi) ve bazı kurallar (bir bölgenin ağırlık merkezinin hesaplanması) üzerinden geliştirilen basit bir genellemeyle formüle etmek ve bu hesaplamaya yeni bir bakış açısı kazandırmaktır. Bu yöntemde dönel cisim hacmi hesabı yapmak için iki katlı integral kullanılmaktadır. Kullanılan formülde bölge ister x ister y ekseni etrafında döndürülsün, bölgeyi x eksenine ya da y eksenine dik atılarak tarif etme imkânı bulunmaktadır. Dolayısıyla, geleneksel formüllere alternatif olarak, iki katlı integral ile bölgeyi bir kez tarif etmek her dönme durumunda yapılacak hesaplamalar için yeterli olmaktadır. Böylece, bölgenin tarifinin (iki katlı integralin sınırlarının yazılmasının) dönel cisim hacminin hesaplanmasında kullanılması, öğrencilerin dört farklı formülü ezberleyerek hesaplarken yaşadıkları güçlükleri ortadan kaldırmaktadır. Sınırlar yazıldıktan sonra alınacak integraller içerden dışarıya doğru sırayla alınarak sonuca ulaşılmaktadır. Yöntem olarak deneysel bir çalışma olarak tasarlanan bu çalışma, Türkiye’nin kuzey doğusunda yer alan bir devlet üniversitesinde yürütülmüştür. Kontrol ve deney grubu olarak 25 şer öğrenciden oluşan iki grup seçilmiştir. Seçim yapılırken bir matematik genel yetenek testi uygulanmış alınan sonuçlara göre grupların seviyeleri çok yakın olacak şekilde ayarlanmıştır. Her iki gruba iki hafta süre ile ders yapılmıştır. Kontrol grubuna dönel cisimlerin hacimlerinin hesabı için 4 formül verilmiş ve birçok örnek yapılmıştır. Deney grubuna ise hazırlanan tek formül anlatılmış ve aynı örnekler burada da yapılmıştır. Daha sonra her iki gruba daha önceki yıllarda ara sınav veya final sınavlarında sorulmuş geçerlik ve güvenirliği hesaplanmış dönel cisim hacim hesabı ile ilgili 8 soru aynı anda sorulup sınav yapılmıştır. Yapılan sınav sonucunda kontrol grubunun ortalaması 36,7 , deney grubunun ortalaması 81,38 çıkmıştır. Deney grubundan rastgele seçilen bazı öğrencilerle yapılan informal görüşmelerde, tek formülle yapılan uygulamaların çok kolaylık sağladığı, kpss alan sınavında benzer soruları bu yolla denediklerini ve güzel sonuçlar aldıklarını belirtmişlerdir. Bazı öğrenciler özel ders verdikleri öğrencilerine bu tek formülü öğrettiklerini ve sonuçların çok güzel olduğunu ifade etmişlerdir. Bu çalışmada dönel cisimlerin hacimlerini integral yardımıyla hesaplarken her bir duruma cevap verebilen tek bir formül oluşturularak hacim hesaplamayı ve uygulamayı kolaylaştıran yeni bir bakış açısı geliştirmek amaçlanmıştır. Bu bakış açısı iki katlı integral, düzlemde kapalı bir bölgenin ağırlık merkezini hesaplamayı sağlayan kural ve Pappus Guldinus teoremi bir araya getirilerek oluşturulmuştur. Aslında basit bir uygulama şeklinde kullandığımız bu formül iki bilginin basitçe bir araya getirilip uygulanmasıdır. Daha önceden de başka kişilerce uygulanmış olabilir. Bu çalışmada ki amacımız yeni bir formül bulduk iddiası değildir. İddiamız bu formülle çok daha kavramsal alt yapıya sahip kullanışlı bir yöntemi kullanıma önermekten ibarettir. Böylece öğrenciler için integral yardımıyla hacim hesaplamayı sağlayan tek bir formül verilmiştir. Çalışmanın sonuçları açısından tek bir formülle hacim hesaplamanın daha kolay ve anlaşılır olabileceği sonucuna ulaşılmıştır.